梅森素数与完全数
引入梅森素数
“ 对于整数， 若 是素数，则 为素数。 ”
注意反之不一定成立。
注意到，几何级数求和公式
若a>2，则，与是素数冲突。
若n为合数，假设，由上式，
所以，冲突。
得证。
“ 对于整数， 若 是素数，则 为2的幂次。 ”
证明类似，用到的公式。
梅森素数
我们将形容如的素数称为梅森素数。
- 有无穷多个梅森素数吗？现在仍不知道
什么是完全数
“ 真因数之和等于他本身。 ”
比如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14
欧几里得完全数公式
“ 如果是素数 ， 则是完全数 ”
函数
定义
性质
- 如果p是素数，，则
- 如果，则
证明
瞪眼法
欧拉完全数定理
如果n是偶完全数，则n形如，其中 是梅森素数。
证明
将偶数中的2都分解出来，则，其中且m是奇数。则
又n为完全数，则。所以，
即， 即。 也就是说存在整倍数c，使得。
即
即
下面，我们来证明c=1.反证法，先假设c>1。
则m至少有三个不同的因数。
又由(1)得，
显然，这是荒谬的。故假设不成立，c因该等于1 。 这样，我们得知
后半部分说明m为质数（因数只有1，m）。 所以，如果n为偶完全数，则
。再由梅森素数的定义，原定理得证。
奇完全数
存在吗？现在不知。
定理
设 和 是奇素数。若 整除 ，则 且 。