卡特兰数

以下搬运自wikipedia

卡特兰数

另一种表示形式

所以，Cn是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。

递推关系

卡塔兰数的渐近增长

所有的奇卡塔兰数都满足。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

emm

母函数

生成式的另一个解可以用M(0)特判掉。

广义二项式定理

二项式定理: , 其中是组合数.

当不是正整数时, 无法正好求和到, 因此将一直求和至正无穷, 这样形式上就得到了广义二项式定理: , 其中是形式上的组合数.

展开形式

先展开,

其中，

则

带回

即可得到通项公式

应用

• Cn表示长度2n的dyck word[7]的个数。Dyck词是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。
• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：
• Cn表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。
• Cn表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树的方案数。

证明： 令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目。

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

• Cn表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。
• Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。
• Cn表示对{1, …, n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, …, n),其中S（w）递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S 为所有含一个元素的数列的单位元。
• Cn表示集合{1, …, n}的不交叉划分的个数。那么, Cn永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, …, 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明：在 魏格纳半圆分布定律 中度数大于2的情形下，所有 自由的 累积量s 为零。 该定律在自由概率论和随机矩阵理论中非常重要。
• Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。
• Cn表示表为2×n的矩阵的标准杨氏矩阵的数量。 也就是说，它是数字 1, 2, …, 2n 被放置在一个2×n的矩形中并保证每行每列的数字升序排列的方案数。同样的，该式可由勾长公式的一个特殊情形推导得出。
• Cn表示n个无标号物品的半序的个数。

汗科尔矩阵

超级卡特兰数（大施罗德数）

递推式

生成函数

解得

化简求通向公式

广义二项式

通项公式

一种方法

接下来给出的一种方法,可以在的复杂度快速求出次多项式开方后前项的值

设要开方的多项式为,开方后的多项式为.

两边求导,可得

得

对比每一项系数,不难得到项的递推式.

递推式

不过要注意这个递推公式除了第一项其他的项都是超级卡特兰数的

组合意义

• 边形的任意剖分方案数。例题链接 还是考虑枚举一条多边形上的边,那么有可能这条边仍然与另一个点拉成一个三角形,也有可能这条边上没有,那么把这两种加起来就是定义的递推式

• 括号序列,每个位置可能左括号,右括号和0.括号对数与0的个数之和为, 问合法的括号序列数. 同样枚举第一个是左括号还是0. 值得一提的是,可以看成先插括号再插0,那么枚举括号对数i,0有个,需要放入个位置中,那么不难得到上面通过广义二项式推出来的式子.

• 从到,每次能往右,往上,往右上走,求不超过这条直线的方案数. 枚举第一次是走右上还是走右. 同样使用容斥思想,把答案转化为从到减去(-1,1)到. 那么从到的路径条数怎么求呢.可以考虑枚举往右上的次数,然后还是考虑先走右和上,然后再把走右上的插入即可.